Milenko Bajić je rođen u selu Rešanovica kod Bosanskog Grahova, 20. avgusta 1944. godine, a u Sarajevo je stigao kao omladinac. Nastupao je u juniorskoj generaciji koju je sa klupe predvodio legendarni Franjo Lovrić, a najčešće je igrao na poziciji napadača.

Na toj poziciji se odlično snalazio, pa je dvije godine uzastopno bio najbolji strijelac juniorskog tima Sarajeva. Ipak, kada je napunio 19 godina, za njega nije bilo mjesta u prvom timu, a pošto je želio da igra, odlazi u Igman, gdje je proveo dvije godine. Te dvije sezone, koliko je nastupao u međuzonskoj ligi proveo je na poziciji stopera, a po terenima širom Bosne i Hercegovine je dodatno očvrsnuo i postao beskompromisan odbrambeni igrač, za kojeg su se počeli interesovati i klubovi iz višeg ranga.

Tako je u zimskoj pauzi sezone 1964/65,  na njegovu adresu stigla ponuda iz Novog Sada, od istimenog prvoligaša. Bajić je bio pred potpisom ugovora, ali je u isto vrijeme stigla ponuda i sa Koševa. Zahvalio se Novosađanima i potpisom na trogodišnji ugovor, ovjerio svoj povratak u matični klub. Bajić se tako na Koševo vratio u trenutku kada je Sarajevo bilo na pragu najvećeg dotadašnjeg uspjeha, osvajanja titule vicešampiona. Pod palicom Abdulaha Gegića, bordo tim je na kraju uspio završiti kao drugoplasirani, a Milenko je u svojoj prvoj polusezoni upisao šest ligaških nastupa.

Već iduće sezone, Bajić postaje standardni prvotimac, a u pobjedi od 4:1 nad ljubljanskom Olimpijom, u okviru 9. kola Prve lige, postiže svoj prvi i kasnije će se ispostaviti jedini gol za Sarajevo u zvaničnim susretima. Svoju punu afirmaciju, kao uostalom i većina igrača iz njegove generacije, Bajić ipak doživljava sezonu kasnije, kada sa Sarajevom postaje šampion Jugoslavije. Na početku te sezone, Svetozar Vujović odlazi na odsluženje vojnog roka, a u toku sezone i Ibrahim Biogradlić prestaje sa aktivnim igranjem fudbala, pa teret odbrane pada na leđa mladog trojca, Jesenković – Bajić – Muzurović, koji na čelu sa iskusnim Fazlagićem, sjajno odgovaraju svim zadacima i predvode Sarajevo do prve šampionske titula.

Zanimljivo, upravo Bajić je bio jedini igrač uz Mirsada Fazlagića i Boška Antića koji je u toj sezoni odigrao svih 30 prvesntvenih utakmica. Standardno dobre igre Bajića u odbrani, privukle su pažnju selektora jugoslovenske reprezentacije Rajka Mitića, a na reprezentativni debi je morao čekati sve do aprila 1970. godine, kada je na Koševu u prijateljskom duelu Jugoslavije i Austrije ubilježio svoj prvi nastup u plavom dresu. Zbog patološkog straha od letenja, morao je odbiti poziv za naredni nastup jugoslovenske reprezentacije, nakon čega ga je selektor Mitić odlučio prekrižiti sa spiska. Bajić je u dresu Sarajeva nastupao sve do ljeta 1972. godine, a ukupno je za Sarajevo ubilježio 223 nastupa u zvaničnim susretima, uz jedan postignuti pogodak.

Nakon Sarajeva odlazi u švajcarski Sion, gdje je nastupao tri sezone i potom okončao karijeru. Po završetku igračke karijere, vraća se u Sarajevo, te radi kao trener u omladinskom pogonu, a kasnije, skupa sa Boškom Antićem i Mirsadom Fazlagićem postaje član stručnog štaba tima sa Koševa, koji će 1985. donijeti u Sarajevo drugu titulu prvaka Jugoslavije.

Koliko je volio klub, možda najbolje oslikava priča s kraja sedamdesetih, kada je Safet Sušić, tada prva zvijezda tima bio na izlaznim vratima Koševa. Naime, popularni Pape je već sve dogovorio sa beogradskim Partizanom, a budući da Sarajevo nije imalo dovoljno novca da ga zadrži, svi su se već bili pomirili s njegovim odlaskom. Ipak, kada je izgledalo da će Pape postati novi član „crno-belih“, pojavio se Bajić, koji je iz svog džepa dao novac za njegov ostanak u bordo dresu. Sarajevo ponovno napušta krajem osamdesetih, kada postaje trener kluba FC Mendrisio. Milenko Bajić, je nakon bolesti, preminuo 25. aprila 2009. godine u Sarajevu.