Edhem Šljivo je rođen 16. marta 1950. godine u Sarajevu. Prve fudbalske korake napravio je upravo na Koševu, gdje je počeo trenirati još kao pionir, a u bordo dresu prošao je kompletnu omladinsku školu. 

Nakon što je u ljeto 1967. godine na najveći stadion u Bosni i Hercegovini stigla prva šampionska titula, došlo je do potrebe za smjenom generacije, pa su 1968. godine, prvom timu priključena dvojica najperspektivnijih juniora, osamnaestogodišnjaci Šljivo i Dragan Simić.

Svoj debi u timu Sarajeva, Šljivo je upisao 20. oktobra 1968. godine, u pobjedi Sarajeva nad Proleterom od 2:0, a do kraja svoje debitantske sezone, sakupio je ukupno 16 nastupa i već tada nagovjestio blistavu karijeru. U idućoj sezoni, pod palicom Miroslava Brozovića, Šljivo postaje standardni prvotimac. Iako je imao tek devetnaest godina, već je bio igrač bez kojeg se nije mogla zamisliti vezna linija tima sa Koševa, pa i ne čudi činjenica da je bio jedini igrač koji je upisao nastup u svakom od 34 prvenstvena susreta u toj sezoni, postigavši pri tome i jedan gol, u visokoj pobjedi nad Hajdukom od 4:0.

Kako je vrijeme odmicalo, Šljivo je izrastao u sve ozbiljnijeg igrača. Nevjerovatan osjećaj za posljednji pas, nesebičnost i gotovo savršen „lažnjak“ bile su glavne osobine ovog mladog igrača, koje su ga dovele i do mlade reprezentacije, za koju je ubilježio ukupno četiri nastupa. U prvim godinama profesionalne karijere, uglavnom je igrao na poziciji desnog halfa, pa je stoga rijetko pogađao protivničku mrežu, ali jedan od golova koji se pamti je gol u gradskom derbiju protiv Željezničara, u oktobru 1971. godine, kada je u porazu Sarajeva od 2:1, sa preko 20 metara pogodio rašlje gola Janjuša.

U ljeto 1972. godine, Šljivo osvaja svoj prvi i jedini trofej sa Sarajevom, kada tim sa Koševa postaje prvak Ljetne lige šampiona. Sarajevo je tog ljeta, pod palicom trenera Srbe Markuševića pružilo najbolju igru i zasluženo osvojilu laskavu titulu šampiona svih šampiona. Kada je iduće godine na Koševo stigao mladi Safet Sušić, Sarajevo je dobilo nevjerovatan tandem. Kombinacija Šljivo – Sušić bila je opasna po svaku odbranu u Ligi. Potez tadašnjeg trenerskog dvojca na klupi Sarajeva, Vujović – Fazlagić da se Šljivo gurne bliže protivničkom golu bio je pun pogodak.

Sa brojem osam na dresu, Šljivo je u drugoj polovini sedamdesetih postao pravi lider Sarajeva, a sve češće je počeo pogađati i protivničke mreže. Tako su upravo Sušić i Šljivo zablistali u finišu sezone 1974/75, kada su uposljednjih šest kola postigli po četiri gola i spasili Sarajevo od ispadanja iz Lige. Šljivo je ukupno u toj sezoni postigao devet golova, a sjajnu formu je nastavio i u jesen 1975. godine, kada postiže sedam golova, od čega posebno treba izdvojiti het trik u duelu sa OFK Beogradom na Koševu.

Fantastična forma dovela ga je i do reprezentativnog dresa, pa je u februarau 1976. godine debitovao u plavom dresu, a već u svom drugom nastupu protiv Alžira postigao je i svoj prvijenac. Ipak, kada je trebao postati standardni reprezentativac, odlazi na odsluženje vojnog roka, a na teren se vraća u sezoni 1977/78, u kojoj se uz šest postignutih golova oprostio od Koševa. Deset godina je popularni Edko bio prvotimac Sarajeva, upisavši pri tome 286 zvaničnih nastupa, uz 44 postignuta pogotka. 

Slijedeća destinacija mu je bila Belgija, gdje potpisuje za Liege. Pune tri sezone je bio prvo ime belgijskog šampionata, što mu je bila ulaznica za nastup u najjačim evropskim ligama, ali i za povratak u reprezentaciju. Najprije je igrao godinu dana za francuski Nice OGC, a sjajne partije u francuskom šampionatu, te nastup na SP 1982. godine, omogućile su mu transfer u njemački FC Koln. Dres popularnih „Jarčeva“ nosio je godinu i pol, a već u prvoj sezoni je osvojio Kup Njemačke.

Nakon bundesligaške epizode, ponovno se vraća u Liege, gdje je nastupao još tri godine, a karijeru mu prekida saobraćajna nesreća koju je doživio u decembru 1986. godine, kada je u blizini Liježa automobilom sletio sa ceste i doživo prelom obje noge i dva vratna pršljena. Ljekari su mu se dugo borili za život, da bi ga na kraju ipak uspjeli spasiti, mada su posljedice po njegovo zdravlje i dalje ostale. Šljivo danas živi i radi u Liježu, a koliko ga Belgijanci cijene, najbolje pokazuje činjenica da se već pune 22 godine održava tunir koji nosi njegovo ime.